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TUDO CERTO COMO DOIS E DOIS SÃO CINCO: O ERRO CONSTRUTIVO E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Josélia Gomes Neves
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Resumo: Os estudos de Piaget explicitados por MACEDO (1994) sobre os processos de aquisição do conhecimento, desde 1960 evidenciam a necessidade de se observar os erros que acontecem no percurso da aprendizagem como interessantes pistas referentes aos saberes que estão sendo construídos pelo aprendiz. Neste texto, procuraremos evidenciar as relações entre o Erro Construtivo e a Matemática, tendo como referência básica os estudos produzidos por Lino de Macedo presentes na obra Ensaios Construtivistas (1994). Apresentamos como resultado destas reflexões, uma sistematização sobre o assunto cujo esforço centrou-se na atividade de produzir aproximações entre as contribuições teóricas e as situações comumente apresentadas em salas de aula do ensino fundamental após resultado de pesquisa empírica como contribuição a Psicopedagogia.
Palavras-chave: Erro Construtivo. Didática. Aprendizagem. Matemática.
Conhecer a forma como o aluno constrói e adquire os conceitos, como utiliza os procedimentos, como resolve uma situação-problema, é mais importante do que apenas registrar se ele chegou ou não a uma resposta certa. Quando o aluno explica como fez, o que pensou, o professor tem uma excelente oportunidade para perceber as relações que o aluno faz, as conclusões a que chega e, que quando ocorre o erro, ver exatamente em que situação se deu o “nó”.
Bordeaux
Tradicionalmente uma das funções desempenhadas pelos docentes na escola, principalmente no que se refere à Matemática, é “corrigir”, indicar o acerto e o erro nas atividades de alunos e alunas. Isso porque tradicionalmente a instituição escolar não faz diferença entre erros aleatórios – simples enganos, equívocos ou desconhecimentos, do Erro Construtivo, expressão criada por Piaget para explicar a construção inteligente feita pelo sujeito no percurso de sua aprendizagem, compreendida como o resultado de aproximações sucessivas com o objeto de estudo, muitas vezes, interpretado como “idéia equivocada” – entretanto é algo construído e transformado ao longo do desenvolvimento.
Neste sentido, trata-se de explicações ou hipóteses, orientadas por uma lógica interna – muitas vezes incoerente aos olhos de quem está “de fora” mas pleno de significado para o sujeito. Permanece então na escola, a idéia de que a ausência de erros nas produções dos alunos e alunas é manifestação de aprendizagem (BRASIL, PCN: 1997).
A proposta construtivista e as pesquisas desenvolvidas neste trabalho nos permitem interpretar o erro como algo inerente ao processo de aprendizagem, além de contribuir para ajustar a intervenção pedagógica com vistas a sua superação. Neste sentido, o conhecimento deve ser construído e reinventado pelo aluno ou aluna, já que ele não ocorre por transmissão ou revelação, a concepção construtivista do conhecimento como criação ou reinvenção destes possibilita a interpretação relativista do erro e do acerto. (MACEDO, 1994).
Neste sentido, a teoria piagetiana pressupõe que os conceitos ou idéias são construídos por processos de auto-regulação: feedback positivo - quando sentimos necessidade de mantermos aspectos considerados interessantes, levando em conta o resultado pretendido e o feedback negativo - o que nos leva a mudar as coisas que não estão produzindo o resultado esperado. Portanto, para Lino de Macedo (1994), no processo de auto-regulação “erro e acerto” constituem parte intrínseca do processo.
Ora, se o erro faz parte do processo de construção do conhecimento, se é inevitável, o que professores e professoras poderão fazer diante dele? De acordo com o autor não há porque ter receio ou procurar evitar o erro. O desafio é como transformá-lo em um problema, diálogo, enfim numa boa situação da aprendizagem. Como ajudar os alunos e alunas a perceberem que há algo que precisa ser revisto, alterado, corrigido ou aperfeiçoado, isto é, transformar o erro em um observável para o aluno/a? Sobre a questão, o autor referência, sistematizou três níveis de desenvolvimento do aprendiz, neste caso, ilustraremos os mesmos através da conhecida teoria da conservação:
a) Nível I – o aprendiz não resolve o problema, porque não tem elementos suficientes para compreender a situação. Exemplo: O experimentador faz duas bolinhas de massa de modelar. O aprendiz concorda que elas têm o mesmo tanto de massa. Ao modificar a forma de uma delas para salsicha, perguntando se a quantidade da massa permanecia a mesma, o aprendiz responde que não, que tem mais massa na salsicha do que a bola porque aquela é “mais comprida”. Observa-se que o erro não foi observável para o aprendiz, sequer se constituiu num problema para ele. O aprendiz não se dá conta de que está errando; não percebe a contradição com a resposta anterior, que as duas bolas tinham a mesma quantidade de massa. É como se ele se “esquecesse” da primeira resposta, situação identificada por Piaget como recalcamento cognitivo. Seria inútil assinalar o erro neste nível.
b) Nível II – (Intermediário) – A criança oscila em suas respostas, apresentando dúvidas, conflitos e ambivalências. Exemplo: Ora o aprendiz fala que há o mesmo tanto de massa, mas pode mudar de convicção se o experimentador argumentar que outra pessoa pensa diferente. Em relação ao erro, o aprendiz admite que errou e se corrige. A situação é problematizadora para a criança, mas ela ainda não a domina.
c) Nível III – O aprendiz domina a situação e tem uma solução suficiente para a questão apresentada. Exemplo: O aprendiz pode explicar que “há o mesmo tanto de massa porque você não tirou e nem pôs”. Portanto, se num primeiro momento, o erro sequer existe, num segundo, torna-se um problema, e num terceiro, pode ser superado, então, para que o erro seja utilizado como fator construtivo na aprendizagem, deve tornar-se um observável, isto é, algo que a criança tenha condições de perceber. O erro no plano de "fazer" relaciona-se a natureza técnica e executiva do ser humano, onde a ação de "errar" tem papel frustrador de um objetivo, e o sujeito de tal ação irá buscar estratégias, alterar procedimentos, corrigindo e aperfeiçoando até atingir o resultado pretendido. Já no plano do "compreender" ele abrange os aspectos de razão e sentido, neste sistema pode ser compreendido como conflitos ou lacunas, nas quais o discurso da criança, numa determinada situação, pode tanto contradizer a sua ação, quanto não se articular com o que ela diz numa situação seguinte.
Então é importante que o erro torne-se observável, ou seja, houve uma tomada de consciência do mesmo, tornando possíveis as reconstruções pelo indivíduo. Um sentimento que pode se originar do erro é o da vergonha, muito experimentado pelo aluno. O sentimento de vergonha "negativa" à questão do erro estão presentes no cotidiano escolar, e quando estão associados causam o medo de perder a atenção, o afeto e respeito do outro.
De acordo com Perrenoud (2000), está inserida nas dez competências para ensinar, especificamente na primeira, “Organizar e dirigir situações de aprendizagem”, a competência específica “Trabalhar a partir dos erros e dos obstáculos à aprendizagem”. O autor considera a importância de que cada vez mais é preciso compreender o erro ao invés de combatê-lo, ou seja o erro não pode mais ser analisado como ponto de chegada e sim como ponto de partida, uma vez que trata-se de um mecanismo revelador do pensamento do aprendiz. Nesta perspectiva, esclarece que:
Para desenvolver esta competência, o professor deve evidentemente, ter conhecimentos em didática e em psicologia cognitiva. De início, deve interessar-se pelos erros, aceitando-os como etapas estimáveis do esforço de compreender, esforçar-se, não corrigi-los (Não diga, mas diga), proporcionando ao aprendiz, porém os meios para tomar consciência deles, identificar sua origem e transpô-los. (p.32)
É interessante estimular a troca de idéias entre os alunos a partir de agrupamentos, como as duplas, trios e outras formas que valorizem a interação, pois um princípio fundamental no âmbito lógico-matemático é o de evitar o reforço da resposta certa e a correção das respostas erradas. Exemplo 1: Se uma criança diz que 8 + 2 = 9, a melhor reação é perguntar o que o coletivo pensa disso, se concorda. Caso não apareça outra idéia será melhor abandonar a pergunta.
O silêncio pode indicar que a pergunta foi muito difícil ou não está bem formulada ou ainda se uma criança diz que 9 - 5 = 3, a melhor reação é evitar corrigi-la, incentivando a discutir a sua resposta, certa ou errada com outros colegas, problematizando, por exemplo a descrever a estratégia de cálculo utilizada, como obteve a resposta? O erro então, pode se converter numa boa situação de aprendizagem.
A superação do erro só pode ser possível se o aprendiz puder incorporar novas idéias, de transformação, revisão ou ampliação das anteriores, para assim, de posse de novos elementos consiga dar conta das contradições e alcançar níveis superiores de conhecimento. Sob a perspectiva que adotamos, escola, docentes e educandos devem ser avaliados não apenas pelo volume de informações, mas pela capacidade de produzir conhecimento.
Ao analisar o erro, o professor ou professora poderá investigar e compreender as dificuldades dos alunos e alunas, observar melhor os erros e as dúvidas destes e considerá-los como elementos primordiais para a reorientação das estratégias pedagógicas, perceber que as dúvidas e incertezas presentes nos questionamentos e respostas de seus alunos/as favorecem a construção de novas relações. Apresentamos abaixo uma série de Erros Construtivos mais comuns em Matemática no Ensino Fundamental:
Situação 1:
a) 64 b) 27 c) 83 d) 45
- 46 -17 -54 -23
22 12 31 22
Analisando esta atividade podemos produzir uma série de inferências: que o aluno ou aluna partiu da orientação geral deste tipo de operação - subtrair sempre o menor do maior. A análise processual permite constatar que houve uma apropriação do conceito de subtração demonstrado no exemplo da letra d. O que é interessante para a reflexão docente é a compreensão que estes erros indicam pistas do desenvolvimento do aluno - o que já sabe e o que precisa aprender - e o ponto de partida para o seu planejamento.
O olhar docente deve privilegiar a caminhada, o processo e não exclusivamente o produto (gabarito). Através das explicações verbais das crianças na resolução dos problemas, o professor ou professora pode obter pistas sobre a origem do erro, como raciocinou e assim ter mais condições de intervir neste sentido, problematizando ou disponibilizando mais informações. Enfim, o Erro Construtivo deve ser encarado como um momento de construção e não de incapacidade.
Situação 2:
a) 28 b) 4 5 c) 86 d) 49
+17 +27 +12 +25
315 612 98 615
Este aluno ou aluna possivelmente já compreendeu o significado do conceito de adição conforme nos indica o resultado da letra c. A intervenção pedagógica refere-se a ampliação de repertório: informar sobre o procedimento habitual no caso, as operações com reservas, “o vai um”e o valor posicional dos números. Se o professor ou professora levar em conta exclusivamente o gabarito, este aluno ou aluna, acertará apenas uma questão, entretanto, um olhar mais atento, perceberá regularidades nas situações que não envolvem reservas.
Situação 3:
a) Determine o valor da seguinte expressão matemática:
+ 60 – (- 10 + 17 – 3 ) – [ + 5 – (- 4 + 20 – 30) – 15] =
+ 60 +10 - 17 + 3 ) – [ + 5 + 4 - 20 + 30 – 15] =
+ 60 +10 - 17 + 3 – 5 - 4 + 2 - 30 + 15 =
+ 90 – 56 = + 34
O aluno ou aluna demonstrou que compreende as estratégias de solução, domina as operações apresentadas e sabe resolver questões envolvendo números positivos e negativos. Não alcançou o resultado correto da expressão porque fez uma transposição equivocada (trocou 20 por 2) na 3ª etapa da tarefa. A intervenção pedagógica em situações de distração pode ser orientada no sentido de possibilitar através de exercícios semelhantes o aprimoramento de atividades desta natureza. O que não pode se conceber é o aluno ou aluna ser avaliado exclusivamente pelo resultado que apresentará um falso diagnóstico: que ele não sabe solucionar questões deste tipo, o que se traduz num julgamento injusto e incompetente.
Situação 4:
a) Roberto foi a uma loja de móveis e comprou uma cama por R$ 100,00, um armário por R$ 145,00 e uma mesa por R$ 285,00. Quanto ele gastou?
Resposta: 285 – 145 – 100 = 40
De acordo com a resposta do aluno ou aluna, sempre que no problema aparece a palavra gastou a conta é de subtração, inclusive dica sugerida muitas vezes pela própria professora ou professor. É importante discutir com os alunos e alunas que nem sempre essa hipótese pode ser sustentada e sugerir que eles/as mesmos inventem questões como essa.
Situação 5:
a) Um cachorro tem quatro patas. Quantas patas tem três cachorros?
Resposta: 14 e 312.
A justificativa foi 1 cachorro tem 4 patas= 14 e 3 cachorros tem 12= 312. Verifica-se que o aluno ou aluna não resolveu a atividade proposta de forma convencional, mas nem por isso o resultado está errado. O raciocínio foi sofisticado e demonstrou confiança na sua forma de pensar. O sujeito não reproduz o conhecimento, ele reconstrói e reelabora conforme a concepção construtivista, daí a importância da valorização do pensamento e das idéias dos alunos e alunas enquanto seres em constante construção de autoria e autonomia.
Perrenoud (2000) na apresentação das dez novas competências para ensinar, destaca como competência específica: Trabalhar a partir dos erros e dos obstáculos à aprendizagem. O autor considera a importância de que cada vez mais é preciso compreender o erro ao invés de combatê-lo, ou seja, o erro não pode mais ser analisado como ponto de chegada e sim como ponto de partida, uma vez que se trata de um mecanismo revelador do pensamento do aprendiz. Nesta perspectiva, esclarece que:
Para desenvolver esta competência, o professor deve evidentemente, ter conhecimentos em didática e em psicologia cognitiva. De início, deve interessar-se pelos erros, aceitando-os como etapas estimáveis do esforço de compreender, esforçar-se, não corrigi-los (Não diga, mas diga), proporcionando ao aprendiz, porém os meios para tomar consciência deles, identificar sua origem e transpô-los. (p.32)
Portanto, considerando as pesquisas atuais, há uma forma diferente de se ver o erro e desta forma, é possível ajudar os professores e professoras, sensibilizando-os quanto ao andamento da produção em sala de aula na medida em que podem facilitar ou dificultar o processo, aumentando a ansiedade do aluno ou auxiliando este a controlá-la.
É fato que o professor, a professora ao insistir na imperfeição do aluno, no seu constrangimento diante do erro, no seu desconhecimento, este poderá apresentar dificuldades maiores para admitir erros, não desejando aprender, já que muitas vezes, atitudes como esta pode significar a admissão de sua própria incapacidade.
Conclusão
Considerando as pesquisas atuais, particularmente as contribuições de Lino de Macedo (1994), há uma forma diferente de se ver o erro. Neste sentido, é possível ajudar os professores e professoras, sensibilizando-os quanto ao andamento da produção em sala de aula na medida em que podem facilitar ou dificultar o processo, aumentando a ansiedade do aluno ou auxiliando este a controlá-la.
É fato que o professor ou professora ao insistir na imperfeição do aluno/a, no seu constrangimento diante do erro, no seu desconhecimento, este poderá apresentar dificuldades maiores para admitir erros, não desejando aprender, já que muitas vezes, atitudes como esta pode significar a admissão de sua própria incapacidade.
Desta forma, as soluções erradas apresentadas pelos alunos e alunas, permitem ao docente perceber a forma como a criança pensa e quais são as suas hipóteses sobre determinado assunto. Diante do “erro” observado nas atividades realizadas pelos alunos e alunas, o interesse construtivista não é simplesmente apontá-lo, ou mesmo marcá-lo com caneta vermelha, mas sobretudo, estudá-lo, descobrir suas razões. O construtivismo aposta que a investigação do processo de aprendizagem é mais produtiva do que a mera observação de seu resultado.
Então ao nos depararmos com idéias como a de que dois e dois são cinco tal como na música de Roberto Carlos, antes de emitir qualquer julgamento é interessante que procuremos saber o que fundamenta ou sustenta esta lógica, pelo menos deve ser a postura esperada de um docente realmente construtivista.
Referências Bibliográficas
BRASIL, Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Introdução. Brasília: MEC, 1997.
MACEDO, Lino de. Ensaios Construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.
PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artes Medicas, 2000.
BORDEAUX, A. L., RUBINSTEIN, C., FRANÇA, E., OGLIARI, E., MIGUEL, V. Matemática: na vida e na escola: 1ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 2001.
Publicado em 21/02/2006 15:12:00
Josélia Gomes Neves - Professora da disciplina de Psicopedagogia do Curso de Pedagogia da UNIPEC- Faculdade de Porto Velho
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